M1111.有效括号的嵌套深度

stack, https://leetcode.cn/problems/maximum-nesting-depth-of-two-valid-parentheses-strings/

如果一个字符串仅由字符 "(" 和 ")" 组成，并且满足以下条件，则称为有效括号字符串（VPS）：

它是空字符串，或
它可以表示为 AB（A 连接 B），其中 A 和 B 都是VPS，或者
它可以表示为 (A)，其中 A 是一个 VPS。

我们可以类似地定义任何 VPS S 的嵌套深度 depth(S) 如下：

depth("") = 0
depth(A + B) = max(depth(A), depth(B))，其中 A 和 B 都是 VPS
depth("(" + A + ")") = 1 + depth(A)，其中 A 是一个 VPS。

例如，""，"()()" 和 "()(()())" 都是 VPS（嵌套深度 0，1 和 2），并且 ")(" 和 "(()" 不是 VPS。

给定一个 VPS 序列，将其拆分成两个不相交的子序列 A 和 B，使得 A 和 B 都是 VPS（且 A.length + B.length = seq.length）。这些子序列不一定是连续的。

例如，对于序列 123456789，一种可能的拆分是：

A = {1, 3, 5, 7, 9}，
B = {2, 4, 6, 8}。
这对应于输出 [0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]，其中 0 表示属于 A，1 表示属于 B。

现在选择任意这样的 A 和 B，使得 max(depth(A), depth(B)) 的值是最小的。

返回一个 answer 数组（长度为 seq.length），该数组编码了 A 和 B 的选择：如果 seq[i] 是 A 的一部分则 answer[i] = 0，否则 answer[i] = 1。请注意，尽管可能存在多种答案，但你可以返回其中任意一种。

示例 1：

输入：seq = "(()())"
输出：[0,1,1,1,1,0]

示例 2：

输入：seq = "()(())()"
输出：[0,0,0,1,1,0,1,1]
解释：本示例答案不唯一。
按此输出 A = "()()", B = "()()", max(depth(A), depth(B)) = 1，它们的深度最小。
像 [1,1,1,0,0,1,1,1]，也是正确结果，其中 A = "()()()", B = "()", max(depth(A), depth(B)) = 1 。

提示：

1 < seq.size <= 10000

有效括号字符串：

仅由 "(" 和 ")" 构成的字符串，对于每个左括号，都能找到与之对应的右括号，反之亦然。
下述几种情况同样属于有效括号字符串：

  1. 空字符串
  2. 连接，可以记作 AB（A 与 B 连接），其中 A 和 B 都是有效括号字符串
  3. 嵌套，可以记作 (A)，其中 A 是有效括号字符串

嵌套深度：

类似地，我们可以定义任意有效括号字符串 s 的 嵌套深度 depth(S)：

  1. s 为空时，depth("") = 0
  2. s 为 A 与 B 连接时，depth(A + B) = max(depth(A), depth(B))，其中 A 和 B 都是有效括号字符串
  3. s 为嵌套情况，depth("(" + A + ")") = 1 + depth(A)，其中 A 是有效括号字符串

例如：""，"()()"，和 "()(()())" 都是有效括号字符串，嵌套深度分别为 0，1，2，而 ")(" 和 "(()" 都不是有效括号字符串。

解题思路

题目要求将有效括号字符串 seq 拆分成两个不相交的有效括号子序列 $A$ 和 $B$ ，使得 $max (depth (A), depth (B))$ 最小。

观察深度特性：在原有效括号字符串中，每一个括号都有一个对应的嵌套深度（层级）。若原字符串的最大深度为 $D$ ，为了让拆分后的 $max (depth (A), depth (B))$ 最小，最优的策略是让 $A$ 和 $B$ 各自分担一半的嵌套深度，即最大深度约为 $⌈ D / 2 ⌉$ 。
按奇偶层级平分：我们可以维护一个表示当前嵌套深度的变量 d（初始为 0）：
- 遇到左括号 '(' 时，嵌套深度增加（d++），该左括号所在的深度即为当前深度 d；
- 遇到右括号 ')' 时，该右括号与最近未匹配的左括号对应，处于相同的深度 d，匹配后嵌套深度减少（d--）。
为了将深度平分，我们只需将处于奇数深度的括号分给其中一组（如 0 或 1），偶数深度的括号分给另一组：
- 遇到 '('：d++，分配标记 ans[i] = d % 2；
- 遇到 ')'：分配标记 ans[i] = d % 2，然后 d--。
这样，相邻嵌套的括号会被交替分配给 $A$ 和 $B$ ，保证了拆分后的两个子序列各自依然是有效括号字符串，且嵌套深度被均匀平分。

C++ 代码实现

cpp

class Solution {
public:
    vector<int> maxDepthAfterSplit(string seq) {
        int n = seq.size();
        vector<int> ans(n);
        int d = 0; // 当前嵌套深度
        
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (seq[i] == '(') {
                d++;
                ans[i] = d % 2; // 奇数层和偶数层分别分配给 1 和 0
            } else {
                ans[i] = d % 2; // 右括号与对应左括号同层
                d--;
            }
        }
        
        return ans;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度： $O (n)$ ，只需遍历一次字符串 seq，其中 $n$ 为字符串长度。
空间复杂度： $O (1)$ ，除了用于存储返回结果的数组外，仅使用了常数级别的额外变量。

M1111.有效括号的嵌套深度 ​

解题思路 ​

C++ 代码实现 ​

复杂度分析 ​

M1111.有效括号的嵌套深度

解题思路

C++ 代码实现

复杂度分析