Solutions CS101

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M2139.得到目标值的最少行动次数 ​

greedy, https://leetcode.cn/problems/minimum-moves-to-reach-target-score/

你正在玩一个整数游戏。从整数 1 开始，期望得到整数 target 。

在一次行动中，你可以做下述两种操作之一：

  • 递增，将当前整数的值加 1（即， x = x + 1）。
  • 加倍，使当前整数的值翻倍（即，x = 2 * x）。

在整个游戏过程中，你可以使用 递增 操作 任意 次数。但是只能使用 加倍 操作 至多 maxDoubles 次。

给你两个整数 target 和 maxDoubles ，返回从 1 开始得到 target 需要的最少行动次数。

示例 1：

输入：target = 5, maxDoubles = 0
输出：4
解释：一直递增 1 直到得到 target 。

示例 2：

输入：target = 19, maxDoubles = 2
输出：7
解释：最初，x = 1 。
递增 3 次，x = 4 。
加倍 1 次，x = 8 。
递增 1 次，x = 9 。
加倍 1 次，x = 18 。
递增 1 次，x = 19 。

示例 3：

输入：target = 10, maxDoubles = 4
输出：4
解释：
最初，x = 1 。 
递增 1 次，x = 2 。 
加倍 1 次，x = 4 。 
递增 1 次，x = 5 。 
加倍 1 次，x = 10 。

提示：

  • 1 <= target <= 10^9
  • 0 <= maxDoubles <= 100

这是一道典型的逆向贪心问题。

思路分析

正向从 1 走到 target 较难判断何时进行加倍操作，但如果我们逆向思考，即从 target 变回 1：

  • 正向加 1 对应 逆向减 1
  • 正向翻倍 对应 逆向除以 2（仅当当前数为偶数时可用）

为了使步数最少，我们应当尽可能多地使用“除以 2”的操作，因为除以 2 能够以最快速度减小数值。因此贪心策略如下：

  1. 如果 maxDoubles == 0，说明无法再除以 2，剩下的距离只能通过一步步减 1 得到，直接累加 target - 1 步后结束循环。
  2. 如果 target == 1，说明已经达到目标，直接返回结果。
  3. 如果当前 target 是奇数，由于不能直接整除，必须先执行一次减 1 操作（步数 +1，target 变为偶数）。
  4. 如果当前 target 是偶数且还有除以 2 的机会（maxDoubles > 0），则执行一次除以 2 操作（步数 +1，target /= 2，maxDoubles -= 1）。

C++ 代码实现

cpp
class Solution {
public:
    int minMoves(int target, int maxDoubles) {
        int moves = 0;
        
        while (target > 1) {
            // 如果加倍次数用尽，只能一步一步减到 1
            if (maxDoubles == 0) {
                moves += (target - 1);
                break;
            }
            
            // 如果是奇数，先减 1
            if (target % 2 == 1) {
                moves++;
                target--;
            } else {
                // 如果是偶数且还有加倍次数，直接除以 2
                moves++;
                target /= 2;
                maxDoubles--;
            }
        }
        
        return moves;
    }
};

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(min(maxDoubles,log⁡(target)))。每次除以 2 会让数值减半，在耗尽 maxDoubles 或除到 1 之前最多只需大约 30 次除法与减法操作，运行时间在常数级以内。
  • 空间复杂度：O(1)，仅使用了几个整型变量。