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M1846.减小和重新排列数组后的最大元素 ​

greedy, https://leetcode.cn/problems/maximum-element-after-decreasing-and-rearranging/

给你一个正整数数组 arr 。请你对 arr 执行一些操作（也可以不进行任何操作），使得数组满足以下条件：

  • arr 中 第一个 元素必须为 1 。
  • 任意相邻两个元素的差的绝对值 小于等于 1 ，也就是说，对于任意的 1 <= i < arr.length （数组下标从 0 开始），都满足 abs(arr[i] - arr[i - 1]) <= 1 。abs(x) 为 x 的绝对值。

你可以执行以下 2 种操作任意次：

  • 减小 arr 中任意元素的值，使其变为一个 更小的正整数 。
  • 重新排列 arr 中的元素，你可以以任意顺序重新排列。

请你返回执行以上操作后，在满足前文所述的条件下，arr 中可能的 最大值 。

示例 1：

输入：arr = [2,2,1,2,1]
输出：2
解释：
我们可以重新排列 arr 得到 [1,2,2,2,1] ，该数组满足所有条件。
arr 中最大元素为 2 。

示例 2：

输入：arr = [100,1,1000]
输出：3
解释：
一个可行的方案如下：
1. 重新排列 arr 得到 [1,100,1000] 。
2. 将第二个元素减小为 2 。
3. 将第三个元素减小为 3 。
现在 arr = [1,2,3] ，满足所有条件。
arr 中最大元素为 3 。

示例 3：

输入：arr = [1,2,3,4,5]
输出：5
解释：数组已经满足所有条件，最大元素为 5 。

提示：

  • 1 <= arr.length <= 10^5
  • 1 <= arr[i] <= 10^9

这个问题可以通过贪心算法来解决。

解题思路

为了让数组中的最大值尽可能大，我们需要尽可能地利用数组中的元素来满足题目给出的两个条件：

  1. arr[0] 必须是 1。
  2. 相邻两个元素的差的绝对值不能超过 1。

由于我们可以任意排列数组，最理想的情况是数组排序后，每一个元素都比前一个元素大 1（例如 [1, 2, 3, 4, ...]）。但我们还受到原始数值的限制：我们只能减小数值，不能增大数值。

贪心策略如下：

  1. 排序：先对数组进行升序排序。这样我们可以从小到大依次确定每个位置能达到的最大可能值。
  2. 初始化：将第一个元素 arr[0] 强制设为 1。
  3. 遍历与修正：从第二个元素开始（索引 i=1），检查当前元素 arr[i] 是否比前一个元素 arr[i-1] 大超过 1。
    • 如果 arr[i] - arr[i-1] > 1，为了满足条件且保持最大值尽可能大，我们只需将 arr[i] 减小为 arr[i-1] + 1。
    • 如果 arr[i] - arr[i-1] <= 1，说明当前值已经满足条件（由于已排序，其差值一定 ≥0），我们不需要减小它，直接保留原值即可。
  4. 结果：遍历结束后的最后一个元素就是该数组能达到的最大值。

Python 代码实现

python
from typing import List

class Solution:
    def maximumElementAfterDecrementingAndRearranging(self, arr: List[int]) -> int:
        # 1. 排序，以便我们可以贪心地从小到大调整
        arr.sort()
        
        # 2. 条件 1：第一个元素必须为 1
        arr[0] = 1
        
        # 3. 遍历数组，确保相邻元素差值 <= 1
        for i in range(1, len(arr)):
            # 条件 2：abs(arr[i] - arr[i - 1]) <= 1
            # 由于已排序，arr[i] >= arr[i-1]，所以只需要考虑 arr[i] > arr[i-1] + 1 的情况
            if arr[i] > arr[i - 1] + 1:
                arr[i] = arr[i - 1] + 1
        
        # 4. 返回数组中的最大元素（即最后一个元素）
        return arr[-1]

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(nlog⁡n)，其中 n 是数组的长度。主要的消耗在于对数组进行排序。之后的单次遍历时间复杂度为 O(n)。
  • 空间复杂度：O(log⁡n)，这是排序算法（Timsort）所需的额外空间。

示例解析：示例 2 arr = [100, 1, 1000]

  1. 排序：[1, 100, 1000]
  2. 设置 arr[0]：已经是 1，保持不变。
  3. 处理 arr[1] (100)：100 > 1 + 1，因此将 arr[1] 减小为 2。数组变为 [1, 2, 1000]。
  4. 处理 arr[2] (1000)：1000 > 2 + 1，因此将 arr[2] 减小为 3。数组变为 [1, 2, 3]。
  5. 返回：3。