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123.买卖股票的最佳时机III ​

dp, https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1] 
输出：0 
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

输入：prices = [1]
输出：0

提示：

  • 1 <= prices.length <= 10^5
  • 0 <= prices[i] <= 10^5

可以使用 动态规划 来解决这个问题，定义四个状态变量：

  • buy1：第一次买入后的最大收益
  • sell1：第一次卖出后的最大收益
  • buy2：第二次买入后的最大收益
  • sell2：第二次卖出后的最大收益

核心思路是：

  1. 第一次买入：buy1 = max(buy1, -price)（越便宜买入越好）
  2. 第一次卖出：sell1 = max(sell1, buy1 + price)（卖出时收益最大化）
  3. 第二次买入：buy2 = max(buy2, sell1 - price)（在第一次卖出的基础上进行第二次买入）
  4. 第二次卖出：sell2 = max(sell2, buy2 + price)（最终的最大收益）

代码实现如下：

python
def maxProfit(prices):
    if not prices:
        return 0

    buy1, sell1 = float('-inf'), 0
    buy2, sell2 = float('-inf'), 0

    for price in prices:
        buy1 = max(buy1, -price)
        sell1 = max(sell1, buy1 + price)
        buy2 = max(buy2, sell1 - price)
        sell2 = max(sell2, buy2 + price)

    return sell2

# 测试用例
print(maxProfit([3,3,5,0,0,3,1,4]))  # 输出 6
print(maxProfit([1,2,3,4,5]))  # 输出 4
print(maxProfit([7,6,4,3,1]))  # 输出 0
print(maxProfit([1]))  # 输出 0

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n)，遍历一次数组
  • 空间复杂度：O(1)，只用了几个变量

这样，你就能高效求解最多两次交易的最大利润！

python
from typing import List


class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if not prices:
            return 0

        n = len(prices)

        # profit_from_day_1_to_i：从第1天到第i天能获得的最大收益
        # profit_from_day_i_to_n：从第i天到最后一天能获得的最大收益
        profit_from_day_1_to_i, profit_from_day_i_to_n = [0] * n, [0] * n

        min_price = prices[0]
        for i in range(1, n):
            min_price = min(min_price, prices[i])
            profit_from_day_1_to_i[i] = max(profit_from_day_1_to_i[i - 1], prices[i] - min_price)

        max_price = prices[-1]
        for i in range(n - 2, -1, -1):
            max_price = max(max_price, prices[i])
            profit_from_day_i_to_n[i] = max(profit_from_day_i_to_n[i + 1], max_price - prices[i])

        max_profit = 0
        for i in range(n):
            max_profit = max(max_profit, profit_from_day_1_to_i[i] + profit_from_day_i_to_n[i])

        return max_profit


if __name__ == "__main__":
    s = Solution()
    print(s.maxProfit([3, 3, 5, 0, 0, 3, 1, 4]))  # 输出应该是6
    print(s.maxProfit([1, 2, 3, 4, 5]))  # 输出应该是4
    print(s.maxProfit([7, 6, 4, 3, 1]))  # 输出应该是0
    print(s.maxProfit([1]))  # 输出应该是0