P1352 没有上司的舞会

tree dp, https://www.luogu.com.cn/problem/P1352

某大学有 $n$ 个职员，编号为 $1\dots n$。

他们之间有从属关系，也就是说他们的关系就像一棵以校长为根的树，父结点就是子结点的直接上司。

现在有个周年庆宴会，宴会每邀请来一个职员都会增加一定的快乐指数 $r_i$，但是呢，如果某个职员的直接上司来参加舞会了，那么这个职员就无论如何也不肯来参加舞会了。

所以，请你编程计算，邀请哪些职员可以使快乐指数最大，求最大的快乐指数。

输入

输入的第一行是一个整数 $n$。

第 $2$ 到第 $(n+1)$ 行，每行一个整数，第 $(i+1)$ 行的整数表示 $i$ 号职员的快乐指数 $r_i$。

第 $(n+2)$ 到第 $2n$ 行，每行输入一对整数 $l,k$，代表 $k$ 是 $l$ 的直接上司。

输出

输出一行一个整数代表最大的快乐指数。

样例输入 #1

7
1
1
1
1
1
1
1
1 3
2 3
6 4
7 4
4 5
3 5

样例输出 #1

5

提示

数据规模与约定

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，保证 $1\le n\le 6\times {10}^3$，$-128\le r_i\le 127$，$1\le l,k\le n$，且给出的关系一定是一棵树。

树形dp学习笔记，https://www.cnblogs.com/ifmyt/p/9588872.html

这是一道经典的树形动态规划（Tree DP）问题。题目要求在满足“上司和下属不能同时参加”的条件下，选择职员使得快乐指数之和最大。

算法思路

我们可以用 $dp[u][0]$ 表示以 $u$ 为根的子树中，$u$ 不参加舞会时的最大快乐指数；用 $dp[u][1]$ 表示以 $u$ 为根的子树中，$u$ 参加舞会时的最大快乐指数。

对于节点 $u$ 的每一个直接下属 $v$：

• 如果 $u$ 参加舞会：那么 $v$ 绝对不能参加。

  $$dp[u][1]=r_u+\sum dp[v][0]$$

• 如果 $u$ 不参加舞会：那么 $v$ 可以参加也可以不参加，我们取两者的最大值。

  $$dp[u][0]=\sum max(dp[v][0],dp[v][1])$$

  实现细节

• 建图：使用邻接表存储树结构。

• 根节点：没有上司的职员即为整棵树的根节点，从根节点开始 DFS。

• 递归深度：Python 默认递归深度较浅，需手动增加 sys.setrecursionlimit。

Python 代码实现

import sys
sys.setrecursionlimit(1 << 30)

def dfs(x, dp, graph):
    for y in graph[x]:
        dfs(y, dp, graph)
        dp[x][0] += max(dp[y][0], dp[y][1])
        dp[x][1] += dp[y][0]

n = int(input())
r = [int(input()) for _ in range(n)]
dp = [[0, r[i]] for i in range(n)]
graph = [[] for _ in range(n)]
check = set()
for _ in range(n-1):
    u, v = map(int, input().split())
    graph[v-1].append(u-1)
    check.add(u-1)
boss = next(i for i in range(n) if i not in check)

dfs(boss, dp, graph)
print(max(dp[boss]))