T1458.两个子序列的最大点积

dp, https://leetcode.cn/problems/max-dot-product-of-two-subsequences/

给你两个数组 nums1 和 nums2 。

请你返回 nums1 和 nums2 中两个长度相同的非空子序列的最大点积。

数组的非空子序列是通过删除原数组中某些元素（可能一个也不删除）后剩余数字组成的序列，但不能改变数字间相对顺序。比方说，[2,3,5] 是 [1,2,3,4,5] 的一个子序列而 [1,5,3] 不是。

示例 1：

输入：nums1 = [2,1,-2,5], nums2 = [3,0,-6]
输出：18
解释：从 nums1 中得到子序列 [2,-2] ，从 nums2 中得到子序列 [3,-6] 。
它们的点积为 (2*3 + (-2)*(-6)) = 18 。

示例 2：

输入：nums1 = [3,-2], nums2 = [2,-6,7]
输出：21
解释：从 nums1 中得到子序列 [3] ，从 nums2 中得到子序列 [7] 。
它们的点积为 (3*7) = 21 。

示例 3：

输入：nums1 = [-1,-1], nums2 = [1,1]
输出：-1
解释：从 nums1 中得到子序列 [-1] ，从 nums2 中得到子序列 [1] 。
它们的点积为 -1 。

提示：

1 <= nums1.length, nums2.length <= 500
-1000 <= nums1[i], nums2[i] <= 1000

点积：

定义：设向量 $a = [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}]$ 和 $b = [b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}]$ ，它们的点积（内积）定义为：
$a \cdot b = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n}$
其中， $\sum$ 表示求和符号。

这是一道典型的动态规划（Dynamic Programming）题目。我们需要在两个数组中寻找子序列，保持相对顺序不变，使得它们的点积最大。

1. 状态定义

定义 dp[i][j] 为考虑 nums1 的前 i+1 个元素（即 nums1[0...i]）和 nums2 的前 j+1 个元素（即 nums2[0...j]）时，能得到的非空子序列的最大点积。

2. 状态转移方程

对于当前的元素对 nums1[i] 和 nums2[j]，我们有几种选择来决定 dp[i][j] 的值：

使用 nums1[i] 和 nums2[j] 进行配对：
- 作为新子序列的开始： 结果是 nums1[i] * nums2[j]。如果之前的累积结果是负数，我们宁愿重新开始。
- 延续之前的子序列： 如果之前的最大点积 dp[i-1][j-1] 是正数，我们可以将当前积加到之前的结果上，即 nums1[i] * nums2[j] + dp[i-1][j-1]。
- 综合这两点，如果选择配对 nums1[i] 和 nums2[j]，这部分的贡献是 nums1[i] * nums2[j] + max(0, dp[i-1][j-1])。
不使用 nums1[i]：
- 这意味着最大点积由 nums1[0...i-1] 和 nums2[0...j] 产生。我们继承 dp[i-1][j] 的值。
不使用 nums2[j]：
- 这意味着最大点积由 nums1[0...i] 和 nums2[0...j-1] 产生。我们继承 dp[i][j-1] 的值。

综上所述，状态转移方程为：

d p [i] [j] = max {\begin{cases} n u m s 1 [i] \times n u m s 2 [j] + max (0, d p [i - 1] [j - 1]) & (选中 i, j) \\ d p [i - 1] [j] & (丢弃 i) \\ d p [i] [j - 1] & (丢弃 j) \end{cases}

(注意边界条件处理：当 i=0 或 j=0 时，不存在 i-1 或 j-1 的情况)

3. 代码实现

python

class Solution:
    def maxDotProduct(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        n, m = len(nums1), len(nums2)
        
        # 初始化 DP 数组
        # dp[i][j] 代表 nums1[0...i] 和 nums2[0...j] 的最大点积
        dp = [[0] * m for _ in range(n)]
        
        for i in range(n):
            for j in range(m):
                # 计算当前两个数字的乘积
                product = nums1[i] * nums2[j]
                
                # 选项1：以当前这一对 (i, j) 作为结尾
                # 如果 dp[i-1][j-1] > 0，则加上它；否则只取 product（相当于重新开始一个子序列）
                # 这里先赋值给 current_max，稍后更新进 dp 数组
                prev_diag = dp[i-1][j-1] if (i > 0 and j > 0) else 0
                current_max = product + max(0, prev_diag)
                
                # 初始化 dp[i][j]
                dp[i][j] = current_max
                
                # 选项2：不使用 nums1[i]，继承上方的结果
                if i > 0:
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j])
                
                # 选项3：不使用 nums2[j]，继承左方的结果
                if j > 0:
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-1])
        
        return dp[n-1][m-1]

4. 复杂度分析

时间复杂度： $O (N \times M)$ ，其中 $N$ 和 $M$ 分别是 nums1 和 nums2 的长度。我们需要填充整个二维数组。
空间复杂度： $O (N \times M)$ ，用于存储 DP 状态数组。
- 注：由于 dp[i][j] 只依赖于当前行和上一行的状态，空间复杂度可以优化到 $O (M)$ ，但在本题数据规模（N, M <= 500）下，二维数组是完全可以接受的且更易于理解。

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T1458.两个子序列的最大点积