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T154.寻找旋转排序数组中的最小值 II ​

binary search, https://leetcode.cn/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array-ii/

已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次 旋转 后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,4,4,5,6,7] 在变化后可能得到：

  • 若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,4]
  • 若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,4,4,5,6,7]

注意，数组 [a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]] 。

给你一个可能存在 重复 元素值的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素 。

你必须尽可能减少整个过程的操作步骤。

示例 1：

输入：nums = [1,3,5]
输出：1

示例 2：

输入：nums = [2,2,2,0,1]
输出：0

提示：

  • n == nums.length
  • 1 <= n <= 5000
  • -5000 <= nums[i] <= 5000
  • nums 原来是一个升序排序的数组，并进行了 1 至 n 次旋转

进阶：这道题与 寻找旋转排序数组中的最小值 类似，但 nums 可能包含重复元素。允许重复会影响算法的时间复杂度吗？会如何影响，为什么？

当有重复元素时，nums[mid] 可能等于 nums[right]，此时我们无法直接判断最小值在左侧还是右侧。

核心改进逻辑

  1. nums[mid] < nums[right]：最小值在 mid 或 mid 左侧，执行 right = mid。
  2. nums[mid] > nums[right]：最小值在 mid 右侧，执行 left = mid + 1。
  3. nums[mid] == nums[right]：无法确定区间。
    • 例如 [1, 0, 1, 1, 1] 和 [1, 1, 1, 0, 1]，在这两种情况下 nums[mid] == nums[right]。
    • 由于 nums[mid] 和 nums[right] 相等，即使 nums[right] 是最小值，nums[mid] 也是最小值。
    • 对策：我们可以安全地将 right 向左移动一位（right -= 1），从而缩小搜索范围。

代码实现

python
from typing import List

class Solution:
    def findMin(self, nums: List[int]) -> int:
        left, right = 0, len(nums) - 1
        
        while left < right:
            mid = left + (right - left) // 2
            
            if nums[mid] < nums[right]:
                # 最小值在 mid 或 mid 左侧
                right = mid
            elif nums[mid] > nums[right]:
                # 最小值在 mid 右侧
                left = mid + 1
            else:
                # 当 nums[mid] == nums[right] 时
                # 我们无法判断最小值在左还是在右，但可以肯定的是：
                # 既然 nums[mid] 等于 nums[right]，那么抛弃当前的 right 也是安全的
                # 因为即使 nums[right] 是最小值，还有 nums[mid] 顶着
                right -= 1
                
        return nums[left]

复杂度分析

  • 时间复杂度：
    • 平均情况：O(log⁡n)。
    • 最坏情况：O(n)。当数组中大部分元素都相同时（例如 [1, 1, 1, 1, 1, 0, 1]），算法会退化为线性查找。
  • 空间复杂度：O(1)。

总结

对比不含重复元素的情况，唯一的区别就在于 nums[mid] == nums[right] 这一步。处理重复元素的核心在于保守地缩小边界，即 right -= 1，这样既能保证不跳过最小值，又能继续利用二分的优势。