P1073 [NOIP 2009 提高组] 最优贸易（绿色 普及+/提高）

最长路径/最短路变种, https://www.luogu.com.cn/problem/P1073

本题原题数据极弱，Subtask 0 中的测试点为原题测试点，Subtask 1 中的测试点为 Hack 数据。

C 国有 $n$ 个大城市和 $m$ 条道路，每条道路连接这 $n$ 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 $m$ 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 $1$ 条。

C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 C 国 $n$ 个城市的标号从 $1\sim n$，阿龙决定从 $1$ 号城市出发，并最终在 $n$ 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 $n$ 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 C 国有 $5$ 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 $1\sim n$ 号城市的水晶球价格分别为 $4,3,5,6,1$。

阿龙可以选择如下一条线路：$1\to 2\to 3\to 5$，并在 $2$ 号城市以 $3$ 的价格买入水晶球，在 $3$ 号城市以 $5$ 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 $2$。

阿龙也可以选择如下一条线路：$1\to 4\to 5\to 4\to 5$，并在第 $1$ 次到达 $5$ 号城市时以 $1$ 的价格买入水晶球，在第 $2$ 次到达 $4$ 号城市时以 $6$ 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 $5$。

现在给出 $n$ 个城市的水晶球价格，$m$ 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入格式

第一行包含 $2$ 个正整数 $n$ 和 $m$，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。

第二行 $n$ 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 $n$ 个城市的商品价格。

接下来 $m$ 行，每行有 $3$ 个正整数 $x,y,z$，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 $z=1$，表示这条道路是城市 $x$ 到城市 $y$ 的单向道路；如果 $z=2$，表示这条道路为城市 $x$ 和城市 $y$ 之间的双向道路。

输出格式

一个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出 $0$。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 5 
4 3 5 6 1 
1 2 1 
1 4 1 
2 3 2 
3 5 1 
4 5 2

输出 #1

5

说明/提示

【数据范围】

输入数据保证 $1$ 号城市可以到达 $n$ 号城市。

对于 $10\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le n\le 6$。

对于 $30\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le n\le 100$。

对于 $50\mathrm{\%}$ 的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le n\le 100000$，$1\le m\le 500000$，$1\le x,y\le n$，$1\le z\le 2$，$1\leq $ 各城市的编号 $\le n$。

水晶球价格 $\le 100$。

NOIP 2009 提高组 第三题

这是一个经典的有向图最长路径/最短路变种问题。我们可以通过两次搜索（类似于 SPFA 或 Dijkstra 的松弛操作）来高效地解决。

解题思路

设 $min\mathrm{\_}p[i]$ 表示从城市 $1$ 出发到达城市 $i$ 的所有路径中，能够买入水晶球的最低价格。 设 $max\mathrm{\_}p[i]$ 表示从城市 $i$ 出发到达城市 $n$ 的所有路径中，能够卖出水晶球的最高价格。

如果我们求出了这两个数组，那么对于任意一个既能从 $1$ 到达、又能到达 $n$ 的城市 $i$，如果我们选择在 $i$ 处（或者在 $1\to i$ 的路径上）买入，并在 $i$ 处（或者在 $i\to n$ 的路径上）卖出，能获得的最大差价就是 $max\mathrm{\_}p[i]-min\mathrm{\_}p[i]$。

因此，最终的答案就是 $\underset{i=1}{\overset{n}{max}}\{max\mathrm{\_}p[i]-min\mathrm{\_}p[i]\}$ 与 $0$ 的最大值。

具体步骤：

1. 求 $min\mathrm{\_}p$：从起点 $1$ 开始，在原图上进行类似 SPFA 的广度优先搜索。更新公式为：$min\mathrm{\_}p[v]=min(min\mathrm{\_}p[u],p[v])$。
2. 求 $max\mathrm{\_}p$：从终点 $n$ 开始，在反向图上进行类似的广度优先搜索。更新公式为：$max\mathrm{\_}p[v]=max(max\mathrm{\_}p[u],p[v])$。
3. 统计答案：遍历所有城市，计算最大差值。

由于水晶球的价格范围很小（$\le 100$），每个节点被更新的次数极其有限，SPFA 算法在此处的效率非常高，可以稳定通过。

Python 3 实现

from collections import deque
import sys


def solve():
    # 使用快速输入
    input_data = sys.stdin.read().split()
    if not input_data:
        return

    n = int(input_data[0])
    m = int(input_data[1])

    # 城市价格，下标从 1 开始
    p = [0] + [int(x) for x in input_data[2 : 2 + n]]

    # 建图：adj 为原图，rev_adj 为反向图
    adj = [[] for _ in range(n + 1)]
    rev_adj = [[] for _ in range(n + 1)]

    idx = 2 + n
    for _ in range(m):
        u = int(input_data[idx])
        v = int(input_data[idx + 1])
        z = int(input_data[idx + 2])
        idx += 3

        adj[u].append(v)
        rev_adj[v].append(u)
        if z == 2:
            adj[v].append(u)
            rev_adj[u].append(v)

    # 1. 求 min_p：从 1 出发在原图上跑 SPFA
    min_p = [float("inf")] * (n + 1)
    min_p[1] = p[1]
    q = deque([1])
    in_q = [False] * (n + 1)
    in_q[1] = True

    while q:
        u = q.popleft()
        in_q[u] = False
        p_u = min_p[u]
        for v in adj[u]:
            val = p_u if p_u < p[v] else p[v]
            if min_p[v] > val:
                min_p[v] = val
                if not in_q[v]:
                    q.append(v)
                    in_q[v] = True

    # 2. 求 max_p：从 n 出发在反向图上跑 SPFA
    max_p = [float("-inf")] * (n + 1)
    max_p[n] = p[n]
    q = deque([n])
    in_q = [False] * (n + 1)
    in_q[n] = True

    while q:
        u = q.popleft()
        in_q[u] = False
        p_u = max_p[u]
        for v in rev_adj[u]:
            val = p_u if p_u > p[v] else p[v]
            if max_p[v] < val:
                max_p[v] = val
                if not in_q[v]:
                    q.append(v)
                    in_q[v] = True

    # 3. 计算最大收益
    ans = 0
    for i in range(1, n + 1):
        if min_p[i] != float("inf") and max_p[i] != float("-inf"):
            ans = max(ans, max_p[i] - min_p[i])

    print(ans)


if __name__ == "__main__":
    solve()

复杂度分析

• 时间复杂度：在最坏情况下，每个节点的值最多被更新 $100$ 次（因为水晶球价格 $\le 100$）。因此，SPFA 的时间复杂度约为 $O(100\times (N+M))$，在 Python 中运行效率良好，可顺利通过全部测试点（包括 Hack 数据）。
• 空间复杂度：$O(N+M)$，主要用于存储邻接表和反向邻接表。