T01183: 反正切函数的应用

反正切函数可展开成无穷级数，有如下公式

(其中0 <= x <= 1) 公式(1)

使用反正切函数计算PI是一种常用的方法。例如，最简单的计算PI的方法：

PI=4arctan(1)=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...) 公式(2)

然而，这种方法的效率很低，但我们可以根据角度和的正切函数公式：

tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)*tan(b)] 公式(3)

通过简单的变换得到：

arctan(p)+arctan(q)=arctan[(p+q)/(1-pq)] 公式(4)

利用这个公式，令p=1/2,q=1/3，则(p+q)/(1-pq)=1，有

arctan(1/2)+arctan(1/3)=arctan[(1/2+1/3)/(1-1/2*1/3)]=arctan(1)

使用1/2和1/3的反正切来计算arctan(1)，速度就快多了。我们将公式(4)写成如下形式

arctan(1/a)=arctan(1/b)+arctan(1/c)

其中a,b和c均为正整数。

我们的问题是：对于每一个给定的a（1 <= a <= 60000），求b＋c的值。我们保证对于任意的a都存在整数解。如果有多个解，要求你给出b+c最小的解。

输入

输入文件中只有一个正整数a，其中 1 <= a <= 60000。

输出

输出文件中只有一个整数，为 b+c 的值。

样例输入

样例输出

来源

Noi 01

【陈子良 25物理学院】首先进行数学推算。题目要求

\begin{aligned} \arctan \frac{1}{a} & = \arctan \frac{1}{b} + \arctan \frac{1}{c} \\ = \arctan \frac{b + c}{b c - 1} \end{aligned}

即

\begin{aligned} a (b + c) = b c - 1 \\ b c - a b - a c = 1 \end{aligned}

两边加上 $a^{2}$ 得

(b - a) (c - a) = a^{2} + 1

可见 $b - a$ ， $c - a$ 为 $a^{2} + 1$ 的因数。我们要找到 $b + c$ 的最小值，即找到 $a^{2} + 1$ 的两个最接近的因数,再加上 $2 a$ 即可。

python

import math
a=int(input())
m=a**2+1
for x in range(int(math.sqrt(m)),0,-1):
    if m%x==0:
        print(x+m//x+2*a)
        break

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