M04121:股票买卖

greedy, http://cs101.openjudge.cn/pctbook/M04121/

最近越来越多的人都投身股市，阿福也有点心动了。谨记着“股市有风险，入市需谨慎”，阿福决定先来研究一下简化版的股票买卖问题。

假设阿福已经准确预测出了某只股票在未来 N 天的价格，他希望买卖两次，使得获得的利润最高。为了计算简单起见，利润的计算方式为卖出的价格减去买入的价格。

同一天可以进行多次买卖。但是在第一次买入之后，必须要先卖出，然后才可以第二次买入。

现在，阿福想知道他最多可以获得多少利润。

输入

输入的第一行是一个整数 T (T <= 50) ，表示一共有 T 组数据。接下来的每组数据，第一行是一个整数 N (1 <= N <= 100, 000) ，表示一共有 N 天。第二行是 N 个被空格分开的整数，表示每天该股票的价格。该股票每天的价格的绝对值均不会超过 1,000,000 。

输出

对于每组数据，输出一行。该行包含一个整数，表示阿福能够获得的最大的利润。

样例输入

3
7
5 14 -2 4 9 3 17
6
6 8 7 4 1 -2
4
18 9 5 2

样例输出

28
2
0

提示

对于第一组样例，阿福可以第 1 次在第 1 天买入（价格为 5 ），然后在第 2 天卖出（价格为 14 ）。第 2 次在第 3 天买入（价格为 -2 ），然后在第 7 天卖出（价格为 17 ）。一共获得的利润是 (14 - 5) + (17 - (-2)) = 28 对于第二组样例，阿福可以第 1 次在第 1 天买入（价格为 6 ），然后在第 2 天卖出（价格为 8 ）。第 2 次仍然在第 2 天买入，然后在第 2 天卖出。一共获得的利润是 8 - 6 = 2 对于第三组样例，由于价格一直在下跌，阿福可以随便选择一天买入之后迅速卖出。获得的最大利润为 0

思路如下：

一次买卖最大利润
- 对于每个位置 i，我们可以计算：
  - left[i]：在区间 [0..i] 内完成一次买卖的最大利润。
  - right[i]：在区间 [i..N-1] 内完成一次买卖的最大利润。
两次买卖最大利润
- 遍历所有分割点 i，第一次交易在 [0..i]，第二次交易在 [i..N-1]，答案就是
```
max_profit = max( left[i] + right[i] )
```
边界情况
- 如果价格一直下降，那么最大利润为 0。
- 可以允许某一次交易“不做”，即利润为 0。

时间复杂度：

计算 left 和 right 都是 O(N)，整体 O(N)，可以应对 N = 100000 的数据规模。

python

def solve():
    import sys
    input = sys.stdin.readline

    T = int(input().strip())
    for _ in range(T):
        N = int(input().strip())
        prices = list(map(int, input().split()))

        if N <= 1:
            print(0)
            continue

        # 1. 从左到右，计算一次交易的最大利润
        left = [0] * N
        min_price = prices[0]
        for i in range(1, N):
            min_price = min(min_price, prices[i])
            left[i] = max(left[i - 1], prices[i] - min_price)

        # 2. 从右到左，计算一次交易的最大利润
        right = [0] * N
        max_price = prices[-1]
        for i in range(N - 2, -1, -1):
            max_price = max(max_price, prices[i])
            right[i] = max(right[i + 1], max_price - prices[i])

        # 3. 合并
        res = 0
        for i in range(N):
            res = max(res, left[i] + right[i])

        print(res)

if __name__ == "__main__":
    solve()

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