M08210: 河中跳房子

binary search/greedy, http://cs101.openjudge.cn/practice/08210

每年奶牛们都要举办各种特殊版本的跳房子比赛，包括在河里从一个岩石跳到另一个岩石。这项激动人心的活动在一条长长的笔直河道中进行，在起点和离起点L远 (1 ≤ L≤ 1,000,000,000) 的终点处均有一个岩石。在起点和终点之间，有N (0 ≤ N ≤ 50,000) 个岩石，每个岩石与起点的距离分别为 $D i (0 < D i < L)$ 。

在比赛过程中，奶牛轮流从起点出发，尝试到达终点，每一步只能从一个岩石跳到另一个岩石。当然，实力不济的奶牛是没有办法完成目标的。

农夫约翰为他的奶牛们感到自豪并且年年都观看了这项比赛。但随着时间的推移，看着其他农夫的胆小奶牛们在相距很近的岩石之间缓慢前行，他感到非常厌烦。他计划移走一些岩石，使得从起点到终点的过程中，最短的跳跃距离最长。他可以移走除起点和终点外的至多M (0 ≤ M ≤ N) 个岩石。

请帮助约翰确定移走这些岩石后，最长可能的最短跳跃距离是多少？

输入

第一行包含三个整数L, N, M，相邻两个整数之间用单个空格隔开。接下来N行，每行一个整数，表示每个岩石与起点的距离。岩石按与起点距离从近到远给出，且不会有两个岩石出现在同一个位置。

输出

一个整数，最长可能的最短跳跃距离。

样例输入

样例输出

提示：在移除位于2和14的两个岩石之后，最短跳跃距离为4（从17到21或从21到25）。

python

def maxMinJump(L, N, M, rocks):
    # 先将岩石位置排序，并加入起点和终点
    rocks = [0] + rocks + [L]

    left, right = 0, L + 1  # 可能的最小跳跃距离范围。所以二分是在 [left, right) 区间内进行的

    def canAchieve(min_dist):
        """ 判断是否能移除至多 M 个岩石，使最短跳跃距离至少为 min_dist """
        removed = 0  # 记录移除的岩石数量
        prev = 0  # 记录上一个岩石位置（起点）

        for i in range(1, len(rocks)):
            if rocks[i] - rocks[prev] < min_dist:
                removed += 1
                if removed > M:
                    return False  # 不能满足要求
            else:
                prev = i  # 更新上一个岩石位置

        return True  # 可以满足要求

    # 二分查找最长可能的最短跳跃距离
    ans = -1
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2  # 取中间偏右值
        if canAchieve(mid):
            ans = mid   # 记录可行的 `mid`
            left = mid + 1  # 继续尝试更大的值
        else:
            right = mid

    return ans


# 读取输入
L, N, M = map(int, input().split())
rocks = [int(input()) for _ in range(N)]

# 计算并输出答案
print(maxMinJump(L, N, M, rocks))

二分法思路参考：https://blog.csdn.net/gyxx1998/article/details/103831426

用两分法去推求最长可能的最短跳跃距离。最初，待求结果的可能范围是[0，L]的全程区间，因此暂定取其半程(L/2)，作为当前的最短跳跃距离，以这个标准进行岩石的筛选。 筛选过程是：先以起点为基点，如果从基点到第1块岩石的距离小于这个最短跳跃距离，则移除第1块岩石，再看接下来那块岩石（原序号是第2块），如果还够不上最小跳跃距离，就继续移除。。。直至找到一块距离基点超过最小跳跃距离的岩石，保留这块岩石，并将它作为新的基点，再重复前面过程，逐一考察和移除在它之后的那些距离不足的岩石，直至找到下一个基点予以保留。。。当这个筛选过程最终结束时，那些幸存下来的基点，彼此之间的距离肯定是大于当前设定的最短跳跃距离的。这个时候要看一下被移除岩石的总数：

如果总数>M，则说明被移除的岩石数量太多了（已超过上限值），进而说明当前设定的最小跳跃距离(即L/2)是过大的，其真实值应该是在[0, L/2]之间，故暂定这个区间的中值(L/4)作为接下来的最短跳跃距离，并以其为标准重新开始一次岩石筛选过程。。。
如果总数≤M，则说明被移除的岩石数量并未超过上限值，进而说明当前设定的最小跳跃距离(即L/2)很可能过小，准确值应该是在[L/2, L]之间，故暂定这个区间的中值(3/4L)作为接下来的最短跳跃距离

python

L,n,m = map(int,input().split())
rock = [0]
for i in range(n):
    rock.append(int(input()))
rock.append(L)

def check(x):
    num = 0
    now = 0
    for i in range(1, n+2):
        if rock[i] - now < x:
            num += 1
        else:
            now = rock[i]
            
    if num > m:
        return True
    else:
        return False

# https://github.com/python/cpython/blob/main/Lib/bisect.py
'''
2022fall-cs101，刘子鹏，元培。
源码的二分查找逻辑是给定一个可行的下界和不可行的上界，通过二分查找，将范围缩小同时保持下界可行而区间内上界不符合，
但这种最后print(lo-1)的写法的基础是最后夹出来一个不可行的上界，但其实L在这种情况下有可能是可行的
（考虑所有可以移除所有岩石的情况），所以我觉得应该将上界修改为不可能的 L+1 的逻辑才是正确。
例如：
25 5 5
1
2
3
4
5

应该输出 25
'''
# lo, hi = 0, L
lo, hi = 0, L+1	# 二分是在 [left, right) 区间内进行的
ans = -1
while lo < hi:
    mid = (lo + hi) // 2
    
    if check(mid):
        hi = mid
    else:               
        ans = mid      # 记录可行的 `mid`
        lo = mid + 1	# 继续尝试更大的值
        
#print(lo-1)
print(ans)

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