M04147: 汉诺塔问题(Tower of Hanoi)

recursion, stack, http://cs101.openjudge.cn/pctbook/M04147

一、汉诺塔问题

有三根杆子A，B，C。A杆上有N个(N>1)穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至C杆：每次只能移动一个圆盘；大盘不能叠在小盘上面。提示：可将圆盘临时置于B杆，也可将从A杆移出的圆盘重新移回A杆，但都必须遵循上述两条规则。

问：如何移？最少要移动多少次？

汉诺塔示意图如下：

三个盘的移动：

二、故事由来

法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序。这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法。假设有n片，移动次数是f(n).显然f(1)=1,f(2)=3,f(3)=7，且f(k+1)=2*f(k)+1。此后不难证明f(n)=2^n-1。n=64时，假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000 秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下： 18446744073709551615秒这表明移完这些金片需要5845.54亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了5845.54亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭。

三、解法

解法的基本思想是递归。假设有A、B、C三个塔，A塔有N块盘，目标是把这些盘全部移到C塔。那么先把A塔顶部的N-1块盘移动到B塔，再把A塔剩下的大盘移到C，最后把B塔的N-1块盘移到C。每次移动多于一块盘时，则再次使用上述算法来移动。

输入

输入为一个整数后面跟三个单字符字符串。整数为盘子的数目，后三个字符表示三个杆子的编号。

输出

输出每一步移动盘子的记录。一次移动一行。每次移动的记录为例如3:a->b 的形式，即把编号为3的盘子从a杆移至b杆。我们约定圆盘从小到大编号为1, 2, ...n。即最上面那个最小的圆盘编号为1，最下面最大的圆盘编号为n。

样例输入

3 a b c

样例输出

1:a->c
2:a->b
1:c->b
3:a->c
1:b->a
2:b->c
1:a->c

提示：可参考如下网址： https://www.mathsisfun.com/games/towerofhanoi.html http://blog.csdn.net/geekwangminli/article/details/7981570 http://www.cnblogs.com/yanlingyin/archive/2011/11/14/2247594.html

来源：重庆科技学院 WJQ

python

# https://blog.csdn.net/geekwangminli/article/details/7981570

# 将编号为numdisk的盘子从init杆移至desti杆 
def moveOne(numDisk : int, init : str, desti : str):
    print("{}:{}->{}".format(numDisk, init, desti))

#将numDisks个盘子从init杆借助temp杆移至desti杆
def move(numDisks : int, init : str, temp : str, desti : str):
    if numDisks == 1:
        moveOne(1, init, desti)
    else: 
        # 首先将上面的（numDisk-1）个盘子从init杆借助desti杆移至temp杆
        move(numDisks-1, init, desti, temp) 
        
        # 然后将编号为numDisks的盘子从init杆移至desti杆
        moveOne(numDisks, init, desti)
        
        # 最后将上面的（numDisks-1）个盘子从temp杆借助init杆移至desti杆 
        move(numDisks-1, temp, init, desti)

n, a, b, c = input().split()
move(int(n), a, b, c)

python

def hanoi_iterative(n, a, b, c):
    stack = [(n, a, b, c, False)]
    while stack:
        n, s, aux, t, left_done = stack.pop()
        if n == 1:
            yield f"1:{s}->{t}"
        elif not left_done:
            stack.append((n, s, aux, t, True))      # 标记“左子任务”完成后再回来
            stack.append((n - 1, s, t, aux, False)) # 左子任务
        else:
            yield f"{n}:{s}->{t}"                   # 中间动作
            stack.append((n - 1, aux, s, t, False)) # 右子任务

if __name__ == "__main__":
    n, a, b, c = input().split()
    n = int(n)
    print("\n".join(hanoi_iterative(n, a, b, c)))

“左子任务”，其实是借助树形递归结构来形象地理解汉诺塔递归过程的。
一、递归函数树结构
递归 hanoi(n, a, b, c) 的执行逻辑是：
python
if n == 1:
    print(f"1:{a}->{c}")
else:
    hanoi(n-1, a, c, b)   # 第一步：把上面的 n-1 个盘从 a 移到 b
    print(f"{n}:{a}->{c}") # 第二步：把最大的盘从 a 移到 c
    hanoi(n-1, b, a, c)   # 第三步：再把那 n-1 个盘从 b 移到 c
从“函数调用树”的角度看，这其实是个二叉递归结构：
                    hanoi(3, A, B, C)
                   /                \
      hanoi(2, A, C, B)           hanoi(2, B, A, C)
每个节点：
左边调用是 “把上面 n-1 个盘移到辅助柱”；
中间是 “把最大的盘移到目标柱”；
右边调用是 “再把那 n-1 个盘移到目标柱”。
因此我们常把：
hanoi(n-1, a, c, b) 称为 左子任务；
hanoi(n-1, b, a, c) 称为 右子任务。
二、在栈模拟中，“左子任务”指的是什么？
在这段代码里：
python
elif not visited:
    stack.append((num, s, aux, t, True))        # 当前任务(标记左子任务完成后回来)
    stack.append((num - 1, s, t, aux, False))   # 左子任务：把 n-1 从 s -> aux
含义如下：

行含义对应递归调用
stack.append((num, s, aux, t, True)) 先把当前任务压回栈，表示等“左子任务”完成后再回来执行暂停当前 hanoi(n)
stack.append((num - 1, s, t, aux, False)) 压入“左子任务”——把上面 n-1 个盘从 s 移到 aux 调用 hanoi(n-1, a, c, b)
三、再来看完整的三个阶段
对于 hanoi(n, a, b, c)，对应的三个阶段是：

行	含义	对应递归调用
`stack.append((num, s, aux, t, True))`	先把当前任务压回栈，表示等“左子任务”完成后再回来执行	暂停当前 hanoi(n)
`stack.append((num - 1, s, t, aux, False))`	压入“左子任务”——把上面 n-1 个盘从 s 移到 aux	调用 hanoi(n-1, a, c, b)

阶段名称动作在模拟代码中的表现
① 左子任务把 n−1 个盘从 a → b 压入 (n-1, s, t, aux, False)
② 中间动作把第 n 个盘从 a → c result.append(f"{n}:{s}->{t}")
③ 右子任务把 n−1 个盘从 b → c 压入 (n-1, aux, s, t, False)
四、直观类比
想象有三步要完成：
1️⃣ 先干左边的事
2️⃣ 再干自己的事
3️⃣ 最后干右边的事
递归自然会自动“记住回来继续干”，
而我们手动模拟时，就要自己用栈来“记住回来继续干”，
那就是通过这个 visited 或 left_done 标志位实现的。
五、小结

阶段	名称	动作	在模拟代码中的表现
①	左子任务	把 n−1 个盘从 a → b	压入 `(n-1, s, t, aux, False)`
②	中间动作	把第 n 个盘从 a → c	`result.append(f"{n}:{s}->{t}")`
③	右子任务	把 n−1 个盘从 b → c	压入 `(n-1, aux, s, t, False)`

概念含义
左子任务 hanoi(n-1, a, c, b)，先把上面的盘移到辅助柱
中间动作移动最大盘 n:{a}->{c}
右子任务 hanoi(n-1, b, a, c)，再把那些盘从辅助柱移到目标柱
visited / left_done 表示左子任务是否已经执行完成，是否可以继续中间动作和右子任务

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M04147: 汉诺塔问题(Tower of Hanoi)