M1382.将二叉搜索树变平衡

binary search tree, divide and conquer, https://leetcode.cn/problems/balance-a-binary-search-tree/

给你一棵二叉搜索树，请你返回一棵 平衡后 的二叉搜索树，新生成的树应该与原来的树有着相同的节点值。如果有多种构造方法，请你返回任意一种。

如果一棵二叉搜索树中，每个节点的两棵子树高度差不超过 1 ，我们就称这棵二叉搜索树是 平衡的 。

示例 1：

输入：root = [1,null,2,null,3,null,4,null,null]
输出：[2,1,3,null,null,null,4]
解释：这不是唯一的正确答案，[3,1,4,null,2,null,null] 也是一个可行的构造方案。

示例 2：

输入: root = [2,1,3]
输出: [2,1,3]

提示：

树节点的数目在 [1, 104] 范围内。
1 <= Node.val <= 10^5

这道题的解题思路可以分为两个主要步骤：

中序遍历（In-order Traversal）：由于二叉搜索树（BST）的中序遍历结果是一个有序数组，我们首先通过中序遍历将树中所有的节点值提取出来，存入一个列表。
分治法构建平衡 BST：有了有序数组后，为了让生成的树尽可能平衡，我们可以每次取数组的中间元素作为当前子树的根节点，然后递归地用左半部分数组构建左子树，用右半部分数组构建右子树。

代码实现

python

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right

class Solution:
    def balanceBST(self, root: TreeNode) -> TreeNode:
        # 1. 中序遍历提取有序数值列表
        nums = []
        def inorder(node):
            if not node:
                return
            inorder(node.left)
            nums.append(node.val)
            inorder(node.right)
        
        inorder(root)
        
        # 2. 通过有序数组构建平衡 BST（类似二分查找的过程）
        def build(left, right):
            if left > right:
                return None
            
            # 选择中间位置的数字作为根节点，确保左右子树节点数量差距最小
            mid = (left + right) // 2
            node = TreeNode(nums[mid])
            
            # 递归构建左子树和右子树
            node.left = build(left, mid - 1)
            node.right = build(mid + 1, right)
            
            return node
        
        return build(0, len(nums) - 1)

复杂度分析

时间复杂度： $O (N)$
- 中序遍历需要访问每个节点一次，耗时 $O (N)$ 。
- 构建平衡 BST 的过程中，每个数组元素也只会被访问一次，耗时 $O (N)$ 。
- 其中 $N$ 是二叉树中的节点个数。
空间复杂度： $O (N)$
- 我们需要一个大小为 $N$ 的数组 nums 来存储中序遍历的结果。
- 递归调用的栈深度：中序遍历最坏情况下为 $O (N)$ （当树退化为链表时），构建平衡树的递归深度为 $O (\log N)$ 。因此总空间复杂度为 $O (N)$ 。

为什么这样做是平衡的？

当我们总是选择有序数组的中间元素作为根时，左边和右边的元素个数之差最多为 1。这意味着左子树和右子树的节点总数非常接近，递归下去就能保证每一个节点的左右子树高度差不超过 1，从而符合平衡二叉树的定义。

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