M153.寻找旋转排序数组中的最小值

binary search, https://leetcode.cn/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/

已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次旋转后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到：

若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]
若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]

注意，数组 [a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]] 。

给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [3,4,5,1,2]
输出：1
解释：原数组为 [1,2,3,4,5] ，旋转 3 次得到输入数组。

示例 2：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2]
输出：0
解释：原数组为 [0,1,2,4,5,6,7] ，旋转 4 次得到输入数组。

示例 3：

输入：nums = [11,13,15,17]
输出：11
解释：原数组为 [11,13,15,17] ，旋转 4 次得到输入数组。

提示：

n == nums.length
1 <= n <= 5000
-5000 <= nums[i] <= 5000
nums 中的所有整数 互不相同
nums 原来是一个升序排序的数组，并进行了 1 至 n 次旋转

这道题要求在 $O (\log n)$ 的时间复杂度内找到旋转排序数组中的最小值。由于数组在旋转前是升序的，且旋转后依然保持局部有序，我们可以使用 二分查找（Binary Search） 来解决。

核心思路

在旋转排序数组中，数组被分成了两个升序的部分：

左侧部分的所有元素都大于右侧部分的所有元素（如果发生了旋转）。
我们要寻找的最小值，正是右侧部分的第一个元素。

我们可以通过比较中间元素 nums[mid] 和 右边界元素 nums[right] 来确定最小值所在的区间：

如果 nums[mid] < nums[right]：
- 说明从 mid 到 right 这一段是升序的。
- 最小值可能是 nums[mid] 本身，也可能在 mid 的左侧。
- 因此，我们将右边界收缩：right = mid。
如果 nums[mid] > nums[right]：
- 说明从 mid 到 right 之间发生了“断层”（旋转点在其中）。
- 最小值一定在 mid 的右侧。
- 因此，我们将左边界收缩：left = mid + 1。
循环结束条件：
- 当 left == right 时，我们就找到了数组的最小值。

代码实现

python

from typing import List

class Solution:
    def findMin(self, nums: List[int]) -> int:
        left, right = 0, len(nums) - 1
        
        # 二分查找
        while left < right:
            mid = left + (right - left) // 2
            
            # 如果中间值小于右边界值，说明右半部分是递增的
            # 最小值可能是 mid，或者在 mid 的左边
            if nums[mid] < nums[right]:
                right = mid
            # 如果中间值大于右边界值，说明最小值一定在 mid 的右边
            else:
                left = mid + 1
        
        # 最终 left == right，指向的就是最小值
        return nums[left]

复杂度分析

时间复杂度： $O (\log n)$ 。每次循环都将搜索区间缩小一半。
空间复杂度： $O (1)$ 。只使用了常数级别的额外空间。

为什么不和 nums[left] 比较？

如果数组没有旋转（即它是完全升序的，如 [1, 2, 3]），nums[mid] 会大于 nums[left]。但在旋转数组（如 [4, 5, 1, 2, 3]）中，nums[mid] 同样可能大于 nums[left]。这会导致逻辑判断变得复杂。而比较 nums[mid] 和 nums[right] 可以非常清晰地判断 mid 是落在“大的左半段”还是“小的右半段”，逻辑更加统一。

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