M304.二维区域和检索 - 矩阵不可变

prefix sum, https://leetcode.cn/problems/range-sum-query-2d-immutable/

给定一个二维矩阵 matrix，以下类型的多个请求：

计算其子矩形范围内元素的总和，该子矩阵的 左上角 为 (row1, col1) ，右下角 为 (row2, col2) 。

实现 NumMatrix 类：

NumMatrix(int[][] matrix) 给定整数矩阵 matrix 进行初始化
int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) 返回 左上角 (row1, col1) 、右下角 (row2, col2) 所描述的子矩阵的元素总和。

示例 1：

输入: 
["NumMatrix","sumRegion","sumRegion","sumRegion"]
[[[[3,0,1,4,2],[5,6,3,2,1],[1,2,0,1,5],[4,1,0,1,7],[1,0,3,0,5]]],[2,1,4,3],[1,1,2,2],[1,2,2,4]]
输出: 
[null, 8, 11, 12]

解释:
NumMatrix numMatrix = new NumMatrix([[3,0,1,4,2],[5,6,3,2,1],[1,2,0,1,5],[4,1,0,1,7],[1,0,3,0,5]]);
numMatrix.sumRegion(2, 1, 4, 3); // return 8 (红色矩形框的元素总和)
numMatrix.sumRegion(1, 1, 2, 2); // return 11 (绿色矩形框的元素总和)
numMatrix.sumRegion(1, 2, 2, 4); // return 12 (蓝色矩形框的元素总和)

提示：

m == matrix.length
n == matrix[i].length

构造公式

二维前缀和：

pre[i][j] =
  pre[i-1][j]
  + pre[i][j-1]
  - pre[i-1][j-1]
  + matrix[i-1][j-1]

图形理解：

       j
   ┌───────┐
 i │   A   │
   │       │
   │       │
   └───────┘

计算 pre[i][j] 时：上方 + 左方 - 重复区域 + 当前元素

因为：pre[i-1][j] 和 pre[i][j-1] 重复算了 pre[i-1][j-1]，所以要减一次。

O(1) 查询公式

查询：(r1,c1) 到 (r2,c2)

公式：

sum =
  pre[r2+1][c2+1]
  - pre[r1][c2+1]
  - pre[r2+1][c1]
  + pre[r1][c1]

图示：

        c1      c2
        │       │
     ┌──┼───────┼──┐
     │  │       │  │
 r1 ─┼──A───────B──┤
     │  │       │  │
     │  │ query │  │
     │  │       │  │
 r2 ─┼──C───────D──┤
     │  │       │  │
     └──┴───────┴──┘

计算：D - B - C + A

python

from typing import List

class NumMatrix:

    def __init__(self, matrix: List[List[int]]):

        n = len(matrix)
        m = len(matrix[0])

        self.pre = [[0]*(m+1) for _ in range(n+1)]

        for i in range(1,n+1):
            for j in range(1,m+1):
                self.pre[i][j] = (
                    self.pre[i-1][j]
                    + self.pre[i][j-1]
                    - self.pre[i-1][j-1]
                    + matrix[i-1][j-1]
                )

    def sumRegion(self, r1: int, c1: int, r2: int, c2: int) -> int:

        return (
            self.pre[r2+1][c2+1]
            - self.pre[r1][c2+1]
            - self.pre[r2+1][c1]
            + self.pre[r1][c1]
        )
        

# Your NumMatrix object will be instantiated and called as such:
# obj = NumMatrix(matrix)
# param_1 = obj.sumRegion(row1,col1,row2,col2)

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