M236.二叉树的最近公共祖先

dfs, binary tree, https://leetcode.cn/problems/lowest-common-ancestor-of-a-binary-tree/

给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个节点 p、q，最近公共祖先表示为一个节点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

示例 1：

输入：root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1
输出：3
解释：节点 5 和节点 1 的最近公共祖先是节点 3 。

示例 2：

输入：root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4
输出：5
解释：节点 5 和节点 4 的最近公共祖先是节点 5 。因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

示例 3：

输入：root = [1,2], p = 1, q = 2
输出：1

提示：

树中节点数目在范围 [2, 10^5] 内。
-10^9 <= Node.val <= 10^9
所有 Node.val 互不相同 。
p != q
p 和 q 均存在于给定的二叉树中。

这个问题可以通过后序遍历（递归）的思想来解决。

解题思路

在递归遍历时，我们从底向上寻找 p 和 q。对于当前节点 root：

边界情况：
- 如果 root 为空，直接返回 None。
- 如果 root 就是 p 或者 q，那么 root 本身就是我们要找的（或者是其祖先），直接返回 root。
递归寻找：
- 去左子树寻找 p 和 q，结果记为 left。
- 去右子树寻找 p 和 q，结果记为 right。
判断结果：
- 情况 1（左右开花）：如果 left 和 right 都不为空，说明 p 和 q 分别分布在当前节点的左右子树中，那么当前节点 root 就是最近公共祖先。
- 情况 2（全在左边）：如果 left 不为空而 right 为空，说明 p 和 q 都在左子树里，返回 left。
- 情况 3（全在右边）：如果 right 不为空而 left 为空，说明 p 和 q 都在右子树里，返回 right。
- 情况 4（都没找到）：如果都为空，说明这棵树里没有 p 或 q，返回 None。
代码实现

python

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None

class Solution:
    def lowestCommonAncestor(self, root: 'TreeNode', p: 'TreeNode', q: 'TreeNode') -> 'TreeNode':
        # 1. 如果 root 为空，或者 root 就是我们要找的节点之一，直接返回 root
        if not root or root == p or root == q:
            return root
        
        # 2. 递归在左子树和右子树中查找
        left = self.lowestCommonAncestor(root.left, p, q)
        right = self.lowestCommonAncestor(root.right, p, q)
        
        # 3. 如果左子树找到了一个，右子树也找到了一个
        # 说明 p 和 q 分居 root 的两侧，root 就是 LCA
        if left and right:
            return root
        
        # 4. 如果只有左子树找到了，返回左子树的结果
        if left:
            return left
        
        # 5. 如果只有右子树找到了，返回右子树的结果
        if right:
            return right
        
        # 6. 如果都没找到，返回 None
        return None

复杂度分析

时间复杂度： $O (N)$ 。其中 $N$ 是二叉树的节点数。在最坏情况下，我们需要遍历二叉树的所有节点。
空间复杂度： $O (N)$ 。这是由递归调用的栈深度决定的。最坏情况下（树退化成链表），递归深度为 $N$ ；平衡树情况下为 $O (\log N)$ 。

为什么这个逻辑是正确的？

由于我们是后序遍历（先处理左右子树，再处理根节点），所以当我们第一次遇到 left 和 right 同时不为空的情况时，当前的 root 必然是深度最大的那个祖先（即最近公共祖先）。之后这个 root 会作为返回值不断向上传递，最终成为整棵树的查询结果。

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